Question

13．已知f（x）是定义在[-5，5]上的奇函数，当x∈（0.5]时，f（x）=log₂（3x+1）+m．
（1）若m=-1，求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）的值域为[-a，a]，求实数m的取值范围及正数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的性质，结合x∈（0，5]时，f（x）=log₂（3x+1）-1，即可求函数f（x）的解析式；
（2）由上面m=-1时f（x）的解析式得：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-m-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）+m}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；分类讨论，结合函数f（x）的值域为[-a，a]，即可求实数m的取值范围及正数a的最小值．

解答 解：（1）若m=-1，x∈（0，5]时，f（x）=log₂（3x+1）-1；
∵f（x）在[-5，5]上为奇函数，设x∈[-5，0），-x∈（0，5]，则：
f（-x）=log₂（1-3x）-1=-f（x）；
∴f（x）=1-log₂（1-3x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）-1}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；
（2）由上面m=-1时f（x）的解析式得：$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-m-lo{g}_{2}（1-3x）}&{x∈[-5，0）}\\{0}&{x=0}\\{lo{g}_{2}（3x+1）+m}&{x∈（0，5]}\end{array}\right.$；
可看出：①x∈[-5，0）时，f（x）单调递增，f（-5）≤f（x）＜f（0）；
即-m-4≤f（x）＜-m；
②x∈（0，5]时，f（x）单调递增，m＜f（x）≤m+4；
∵f（x）的值域为[-a，a]；
∴-2≤m≤0，f（x）的值域为[-m-4，m+4]，-4≤m≤-2，f（x）的值域为[m，-m]；
∴正数a的最小值是2．

点评 本题考查函数解析式的确定，考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．