Question

（本小题12分）已知（）.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）若，用单调性定义证明函数在区间上单调递减；
（3）是否存在实数，使得的定义域为时，值域为
，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.

Answer 1

（1）奇函数.（2）函数在区间上单调递减.
（3）满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是.

试题分析：（1）根据对数函数的真数大于0建立不等式，解之即可求出函数的定义域，判定是否对称，然后根据函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后比较真数的大小，从而得到f（x₁）与f（x₂）的大小，最后根据单调性的定义进行判定即可；
（3）假设存在实数a满足题目条件，然后根据函数在区间[m，n]上单调性建立等式关系，然后转化成方程x²+（1-a）x+a=0在区间（1，+∞）上有两个不同的实根，从而可求出a的取值范围．
解：（1）由得：或 .
所以，函数的定义域为.
又
为奇函数.
（2）任取，且，则.
因为
所以，又因为，所以，
故,所以，函数在区间上单调递减.
（3）假设存在实数满足题目条件.
由题意得：，又，
又，，.
故，由（2）得：函数在区间上单减.所以，函数在区间上单调递减.
故，，所以，
所以，
是方程的两个不同的实根.
故，方程在区间上有两个不同的实根.
则，解得：.又，
所以，所以，满足题目条件的实数存在，实数的取值范围是.
点评：解决该试题的关键是对于方程在某个区间上方有几个不同的实数根的问题，常常转化为分析参数来求解其范围。