Question

14．已知点F₁（-3，0）和点F₂（3，0）是椭圆的两个焦点，且点（0，4）在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P是椭圆上的一点，若|PF₁|=4，求以线段|PF₂|为直径的圆的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=3，b=4，由a，b，c的关系，解得a=5，进而得到椭圆方程；
（2）运用椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，求出|PF₂|，再由圆的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=3，b=4，则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=5，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
由|PF₁|=4，可得|PF₂|=6．
则以线段|PF₂|为直径的圆的面积为π•3²=9π．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，同时考查椭圆的定义的运用，考查运算能力，属于基础题．