Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AD=DC=3，DD₁=4，过点D作D₁C的垂线交CC₁于点E，交D₁C于点F．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点BE到平面A₁D₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）欲证A₁C⊥BE，而BE?平面EBD，可先证A₁C⊥平面BED，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A₁C与平面BED内两相交直线垂直，连接AC交BD于点O，易证A₁C⊥DE，A₁C⊥DE，而BD∩DE=D，满足定理所需条件；
（Ⅱ）连接EO，根据二面角平面角的定义可知∠EOC是二面角E-BD-C的平面角，在直角三角形EOC中求出此角即可；
（Ⅲ）连接A₁B，连接BF，根据线面所成角的定义可知∠EBF为BE与平面A₁D₁C所成的角，在直角三角形EFB中求出角的正弦值即可求出所求．

解答：解：（I）证明：连接AC交BD于点O，由已知ABCD是正方形，则AC⊥BD．
∵A₁A⊥底面ABCD，由三垂直线定理有A₁C⊥DE．
同理A₁C⊥DE．
∵BD∩DE=D，
∴A₁C⊥平面BED．∴BE?平面EBD，∴A₁C⊥BE．（4分）

（Ⅱ）连接EO．由EC⊥平面BCD，且AC⊥BD，知EO⊥BD．
∴∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
已知AD=DC=3，DD₁=4，
可求得D₁C=5，DF=

12

5

，∴CF=

9

5

．
则EF=

27

20

，∠C=

9

4

，OC=

3 2

4

．（7分）
在Rt△ECO中，tanEOC=

EC

OC

=

3 2

4

．
∴二面角E-BD-A的大小是arctan

2 2

4

．（9分）
（Ⅲ）连接A₁B，由A₁D₁∥BC知点B点在平面A₁D₁C内，
由（Ⅰ）知A₁C⊥DE，又∵A₁D₁⊥DE，
且A₁C∩A₁D₁=A₁，∴DE⊥平面A₁D₁C，且F为垂足．
连接BF．∠EBF为BE与平面A₁D₁C所成的角．
∵EF=

27

20

，BE=

15

4

，（13分）
在Rt△FEB中，sinEBF=

EF

BE

=

27 20

15 4

=

9

25

．
∴BE与平面A₁D₁C所成角的正弦值为

9

25

．（14分）

点评：本题主要考查了线面垂直的性质定理，以及二面角的度量和线面所成角的求解，同时考查了空间想象能力和计算能力与推理能力，转化与划归的思想，属于中档题．