Question

18．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂．a₃；
（2）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}成等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（3）设T_n是{a_n}的前n项和，T_2n＞T_n+a对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）代入计算即可；
（2）通过对a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*）两边同时取倒数可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{5}$为公差的等差数列，进而计算可得结论；
（3）通过记f（n）=T_2n-T_n可知f（n+1）-f（n）=$\frac{5（9n+25）}{（2n+5）（2n+6）（n+5）}$＞0，利用函数f（n）是关于n的增函数可知a＜f（1）=$\frac{5}{6}$．

解答 （1）解：依题意，a₂=$\frac{5{a}_{1}}{5+{a}_{1}}$=$\frac{5}{5+1}$=$\frac{5}{6}$，
a₃=$\frac{5{a}_{2}}{5+{a}_{2}}$=$\frac{5•\frac{5}{6}}{5+\frac{5}{6}}$=$\frac{5}{7}$；
（2）求证：∵a_n+1=$\frac{5{a}_{n}}{5+{a}_{n}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{5+{a}_{n}}{5{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{5}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、$\frac{1}{5}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{5}$（n-1）=$\frac{n+4}{5}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{5}{n+4}$；
（3）解：由（2）可知，f（n）=T_2n-T_n
=$\frac{5}{n+5}$+$\frac{5}{n+6}$+…+$\frac{5}{2n+3}$+$\frac{5}{2n+4}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{5}{2n+5}$+$\frac{5}{2n+6}$-$\frac{5}{n+5}$
=$\frac{5（9n+25）}{（2n+5）（2n+6）（n+5）}$
＞0，
∴函数f（n）是关于n的增函数，
∵f（1）=T₂-T₁=a₂=$\frac{5}{6}$是f（n）的最小值，
∴a＜f（1）=$\frac{5}{6}$，
∴实数a的取值范围是：（-∞，$\frac{5}{6}$）．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．