Question

10．已知x＞-1，试求函数y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$的最小值．

Answer 1

分析 利用换元法令t=x+1，从而可得y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$=t+$\frac{4}{t}$+5，再利用基本不等式求解即可．

解答 解：设t=x+1，由x＞-1知t＞0；
x=t-1，
故y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+7（t-1）+10}{t}$
=t+$\frac{4}{t}$+5，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4（当且仅当t=2时，等号成立）；
∴函数y=$\frac{{x}^{2}+7x+10}{x+1}$的最小值为4+5=9．

点评 本题考查了函数的最值的求法及基本不等式的应用，属于中档题．