Question

【题目】已知函数 曲线在原点处的切线为 .

（1）证明：曲线与轴正半轴有交点；

（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ；

（3）若关于的方程（为正实数）有不等实根求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】分析：（1）由条件可得，然后利用单调性及零点存在定理可得存在 使得，从而得结论成立．（2）由（1）可得曲线在点处的切线：. 令，，则，由的单调性可得，从而可得结论成立．（3）结合以上两问中的有关结论构造新的函数进行证明可得结论成立．

详解：证明：（1）∵，

∴，

由已知得 ，解得

∴，

∴在 上单调递增，在上单调递减，

又，，

∴存在 使得 ．

∴曲线与轴正半轴有交点 ．

（2）由（1）可得曲线在点处的切线： ，

令， ，

则，

又,

故当 时，，单调递增，

当 时，，单调递减，

所以对任意实数都有 ，

即对任意实数都有 ，

故曲线上的点都不在直线的上方．

（3）由（1）知，

所以为减函数.

设方程 的根为，

由（2）可知，

所以.

记，则

当 时， 单调递增，

当 时，，单调递减，

所以对任意的实数，都有 ，

即.

设方程的根 ，

则 ，

所以.

于是

令，

又，则，

所以 在上为增函数，

又

所以 ，

所以