题目内容
3．甲乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制（先赢三场的队伍获得胜利．比赛结束）
②双方各派出三名队员．前三场每位队员各比赛-场
已知甲俱乐部派出队员A1、A2．A3，其中A3只参加第三场比赛．另外两名队员A1、A2比赛场次未定：乙俱乐部派出队员B1、B2．B3，其中B1参加第一场与第五场比赛．B2参加第二场与第四场比赛．B3只参加第三场比赛
根据以往的比赛情况．甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如表：
| A1 | A2 | A3 | |
| B1 | $\frac{5}{6}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{1}{3}$ |
| B2 | $\frac{2}{3}$ | $\frac{2}{3}$ | $\frac{1}{2}$ |
| B3 | $\frac{6}{7}$ | $\frac{5}{6}$ | $\frac{2}{3}$ |
（Ⅱ）若A1参加第一场与第四场比赛，A2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）
分析 （Ⅰ）先求出A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛甲俱乐部计划以3：0取胜的概率，再求出A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，甲俱乐部计划以3：0取胜的概率．由此能求出甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．
（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
解答 解：（Ⅰ）设A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，
甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p1=$\frac{5}{6}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{10}{27}$．
设A1、A2两名队员分别参加第二场和第一场比赛，
甲俱乐部计划以3：0取胜的概率p2=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$．
∵p1＞p2，
∴甲俱乐部安排A1、A2两名队员分别参加第一场和第二场比赛，则三场即获胜的概率最大．
（2）由题意比赛场次X的可能取值为3，4，5，
P（X=3）=$\frac{5}{6}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{6}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{7}{18}$，
P（X=4）=$\frac{5}{6}{C}_{2}^{1}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{5}{6}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{19}{54}$，
P（X=5）=1-P（X=3）-P（X=4）=$\frac{7}{27}$，
∴X的分布列为：
| X | 3 | 4 | 5 |
| P | $\frac{7}{18}$ | $\frac{19}{54}$ | $\frac{7}{27}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
| 题号 | A | B | C |
| 答卷份数 | 160 | 240 | 320 |
（Ⅰ）若从选出的9份答卷中抽出3份，求这3份中至少有1份选择A题作答的概率；
（Ⅱ）若从选出的9份答卷中抽出3份，记其中选择C题作答的份数为X，求X的分布列及其数学期望E（X）．
| A． | {-1，1} | B． | {0，1} | C． | {-1，0，1} | D． | {1} |