Question

1．已知函数y=lg（ax²+x+1）
（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化为ax²+x+1＞0恒成立，利用二次函数性质求解，
（2）理解函数的值域为R，则ax²+x+1能取遍所有的正数，根二次函数性质得出a＞0且△=1-4a≥0．

解答 解：（1）∵函数的定义域为R，
∴ax²+x+1＞0恒成立．
当a=0时，显然不成立．
当a≠0时，应有a＞0且△=-4a＜0，
解得 a＞$\frac{1}{4}$．
故a的取值范围为：a$＞\frac{1}{4}$，
（2）若函数的值域为R，则ax²+x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4a≥0}\end{array}\right.$或a=0
解得：0≤a$≤\frac{1}{4}$，
故a的取值范围为[0，$\frac{1}{4}$]

点评 本题考查了对数函数的性质，二次函数的性质，不等式的运用，属于综合题目，关键转化为不等式，理解好二次函数的性质．