Question

13．已知cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则sin（2α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 利用诱导公式化简已知可得sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由诱导公式及倍角公式化简所求可得sin（2α-$\frac{π}{6}$）=1-2sin²（$α-\frac{π}{3}$），从而即可计算得解．

解答 解：∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=sin[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{6}$）]=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin（2α-$\frac{π}{6}$）=cos[$\frac{π}{2}$-（2α-$\frac{π}{6}$）]=cos[2（$α-\frac{π}{3}$）]=1-2sin²（$α-\frac{π}{3}$）=1-2×$\frac{3}{9}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 该题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，还要求学生能够感受到 cos（$\frac{π}{3}$-α） 与sin（$\frac{π}{6}$+α） 中的角之间的余角关系，属于中档题．