题目内容

12．在边长为a的正方形ABCD中，剪下一个扇形和一个圆，如图所示，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．

分析 根据展开图与圆锥的对应关系列出方程组，求出圆锥的母线长，底面半径，高，代入体积公式化简．

解答 解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，则$\left\{\begin{array}{l}{l+r+\sqrt{2}r=\sqrt{2}a}\\{\frac{2πl}{4}=2πr}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{l=\frac{4\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\\{r=\frac{\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\end{array}\right.$，设圆锥的高为h，则h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{15}$r．
∴V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{2\sqrt{30}π{a}^{3}}{3（5+\sqrt{2}）^{3}}$．

点评 本题考查了圆锥的展开图，圆锥的体积，属于基础题，但计算较复杂．

练习册系列答案
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2．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，AC=2$\sqrt{2}$，PA=2，D是AC的中点
（I）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PA与平面PBC所成角的余弦值．
3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}-ax+4，（a＞0）$
 （1）讨论函数 f （x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[1，4），都存在x0∈（2，3]使得不等式f（x0）+ea+2a＞m成立，求实数m 的取值范围．
20．已知有穷数列：${a_1}，{a_2}，{a_3}，…，{a_k}\;（k∈{N^*}，k≥3）$的各项均为正数，且满足条件：
①a1=ak；②${a_n}+\frac{2}{a_n}=2{a_{n+1}}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}\;\;（n=1，2，3，…，k-1）$．
（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；
（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
7．对任意正整数n，设an是方程x2+$\frac{x}{n}$=1的正根．求证：
（1）an+1＞an；
（2）$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
17．函数f（x）=|lgx|-cosx的零点的个数为（　　）
A．3B．4C．5D．6
4．在如图所示的几何体中，三棱锥D-ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）
A．OA，OB，OC的长度可以不相等B．直线OB∥平面ACD
C．直线OD与BC所成的角是45°D．直线AD与OB所成的角是45°
1．已知函数y=lg（ax2+x+1）
（1）若函数定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数的值域为R，求a的取值范围．
2．已知函数f（x）=2cos2x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2$\sqrt{3}$，BC=3，求AB的长．

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