Question

15．已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，点D是A₁C₁的中点，则异面直线AD和BC₁所成角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 以B₁为原点，B₁A₁为x轴，B₁C₁为y轴，B₁B为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD和BC₁所成角的大小．

解答 解：以B₁为原点，B₁A₁为x轴，B₁C₁为y轴，B₁B为z轴，建立空间直角坐标系，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，点D是A₁C₁的中点，
∴A（2，0，2），D（1，1，0），B（0，0，2），C₁（0，2，0），
$\overrightarrow{AD}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，2，-2），
设异面直线AD和BC₁所成角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{|0+2+4|}{\sqrt{6}×\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴异面直线AD和BC₁所成角的大小为$\frac{π}{6}$．
故选：A．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．