Question

2．在等比数列{a_n}中，若a₅+a₆+a₇+a₈=15，a₆a₇=-5，$\frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_6}+\frac{1}{a_7}+\frac{1}{a_8}$=-3．

Answer 1

分析 由等比数列通项公式得a₅a₈=a₆a₇=-5，从而$\frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_6}+\frac{1}{a_7}+\frac{1}{a_8}$=（$\frac{1}{{a}_{5}}+\frac{1}{{a}_{8}}$）+（$\frac{1}{{a}_{6}}+\frac{1}{{a}_{7}}$）=$\frac{{a}_{5}+{a}_{8}}{{a}_{5}{a}_{8}}$+$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{6}{a}_{7}}$，由此能求出结果．

解答 解：∵在等比数列{a_n}中，若a₅+a₆+a₇+a₈=15，a₆a₇=-5，
∴a₅a₈=a₆a₇=-5，
∴$\frac{1}{a_5}+\frac{1}{a_6}+\frac{1}{a_7}+\frac{1}{a_8}$
=（$\frac{1}{{a}_{5}}+\frac{1}{{a}_{8}}$）+（$\frac{1}{{a}_{6}}+\frac{1}{{a}_{7}}$）
=$\frac{{a}_{5}+{a}_{8}}{{a}_{5}{a}_{8}}$+$\frac{{a}_{6}+{a}_{7}}{{a}_{6}{a}_{7}}$
=$\frac{{a}_{5}+{a}_{6}+{a}_{7}+{a}_{8}}{-5}$
=$\frac{15}{-5}$=-3．
故答案为：-3．

点评 本题考查等比数列的四项的倒数之和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．