Question

在△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，则△ABC面积的最大值为

9

3

．

Answer 1

分析：由题意可得a=6，b+c=2a=12，利用余弦定理可得bc=

54

1+cosA

≤(

b+c

2

)2=36，从而可求得cosA≥

1

2

，0＜A≤

π

3

，而由正弦定理可求得S_△ABC=27tan

A

2

≤9

3

．

解答：解：∵△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，
∴a=6，b+c=2a=12，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
∴2bc（1+cosA）=144-36=108，
∴bc=

54

1+cosA

≤(

b+c

2

)2=36（当且仅当b=c=6时取“=”），
∴cosA≥

1

2

，又0＜A＜π，
∴0＜A≤

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA
=

1

2

•

54

1+cosA

×sinA
=27×

sinA

1+cosA

=27tan

A

2

≤27tan

π

6

=9

3

，
故答案为：9

3

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式，考查等差数列的性质，得到0＜A≤

π

3

是关键，也是难点，属于难题．