Question

对于定义域内的函数f（x），若存在非零实数x₀，使函数f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上均有零点，则称x₀为函数f（x）的一个“给力点”．现给出下列四个函数：
①f（x）=3^x-1+

1

2

；
②f（x）=2+lg|x-1|；
③f（x）=

x3

3

-x-1；
④f（x）=x²+ax-1（a∈R），则存在“给力点”的函数是（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：由指数函数的值域，即可判断①；令f（x）=0，解出方程，即可判断②；
运用导数，求出单调区间和极值，可得f（x）与x轴只有一个交点，即可判断③；
运用二次方程的判别式，即可判断④．

解答： 解：对于①，f（x）=3^x-1+

1

2

，定义域为R，且f（x）＞

1

2

＞0恒成立，则不存在“给力点”；
对于②，f（x）=2+lg|x-1|，定义域为{x|x≠1，x∈R}，令f（x）=0，则x=1+

1

100

或1-

1

100

，
可令x₀=1，则存在“给力点”；
对于③，f（x）=

x3

3

-x-1，定义域为R，f′（x）=x²-1，在-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
在x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）递增．则x=1处取得极小值-

5

3

，x=-1处取得极大值-

1

3

，
则f（x）与x轴只有一个交点，则不存在“给力点”；
对于④，f（x）=x²+ax-1（a∈R），定义域为R，由于判别式a²+4＞0，则一定存在“给力点”．
综上可得，②④正确．
故选D．

点评：本题考查函数的零点的判断，主要考查新定义的理解和运用，运用解方程、函数的单调性和值域和导数是解题的关键．