Question

17．函数y=cos²x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]$的最小值为0．

Answer 1

分析 根据二倍角的余弦公式的变形、两角和的正弦公式化简解析式，利用x的范围和正弦函数的性质求出函数的最小值．

解答 解：由题意得，y=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$=$\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$
=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，则$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴函数的最小值$-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，
故答案为：0．

点评 本题考查二倍角的余弦公式的变形，两角和的正弦公式的应用，以及正弦函数的性质，属于中档题．