Question

2．正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{33}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．

解答 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
设OD=SO=OA=OB=OC=a，
则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），
C（-a，0，0），P（0，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$）．
则$\overrightarrow{BC}$=（-a，-a，0），$\overrightarrow{AP}$=（-a，$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），
C=（a，a，0）．
设直线BC与AP所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}}{\sqrt{2}a•\sqrt{\frac{3}{2}}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线BC与AP所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．