Question

过x轴正半轴上一点M作直线PQ与椭圆

x2

4

+y²=1相交于两点P，Q，若

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

为定值，则点M的坐标为（　　）

• A、（

  1

  5

  ，0）
• B、（

  15

  15

  ，0）
• C、（

  2 15

  5

  ，0）
• D、（

  15

  5

  ，0）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设M（m，0），设直线PQ的参数方程为

x=m+tcosα y=tsinα

．P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．把直线PQ的方程代入椭圆的方程

x2

4

+y2=1，得到根与系数的关系，可得

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．由于

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

为定值，因此24-10m²=0，解出即可．

解答：解：设M（m，0），设直线PQ的方程为

x=m+tcosα y=tsinα

．
P（m+t₁cosα，t₁sinα），Q（m+t₂cosα，t₂sinα）．．
把直线PQ的方程代入椭圆的方程

x2

4

+y2=1，
化为（1+3sin²α）t²+2mtcosα+m²-4=0．
∴t₁+t₂=

-2mcosα

1+3sin2α

，t1t2=

m2-4

1+3sin2α

．
∴

t

2 1

+

t

2 2

=(t1+t2)2-2t1t2=

2m2+8+(24-10m2)sin2α

(1+3sin2α)2

．
∴

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

t 2 1 + t 2 2

(t1t2)2

=

2m2+(24-10m2)sin2α+8

(m2-4)2

．

∵

1

|MP|2

+

1

|MQ|2

为定值，
∴24-10m²=0，又m＞0．
解得m=

2 15

5

．
∴点M的坐标为(

2 15

5

，0)．
故选：C．

点评：本题考查了直线与椭圆相交定值问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的参数方程及其参数的意义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．