Question

【题目】已知椭圆的离心率为是椭圆上一点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，是直线上任意一点.

证明：直线的斜率成等差数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

分析：（1）椭圆C的离心率为，在椭圆上．可得 联立解得即可得出．

(2)因为右焦点,

①当直线的斜率不存在时其方程为，

因此，设，则可证

因此，直线和的斜率是成等差数列.

②当直线的斜率存在时其方程设为

由得，

所以，验证，又因为，

所以有,

综上可知直线和的斜率是成等差数列.

详解：

（1）；

(2)因为右焦点,

①当直线的斜率不存在时其方程为，

因此，设，则

所以且

所以，

因此，直线和的斜率是成等差数列.

②当直线的斜率存在时其方程设为

由得，

所以

因此，

所以，

又因为

所以有,

因此，直线和的斜率是成等差数列

综上可知直线和的斜率是成等差数列.