Question

已知f（x）=sin（

π

2

+x）cosx-sinxcos（π-x）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，已知A为锐角，f（A）=1，BC=2，B=

π

3

，求AC边的长．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的单调递增区间．
（2）先根据（1）中函数解析式和f（A）的值，求得A，进而根据正弦定理求得AC的长．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

π

2

+x）cosx-sinxcos（π-x）
=cosxcosx+sinxcosx
=cos²x+

sin2x

2

=

cos2x+1

2

+

sin2x

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），
即-

3π

8

+kπ≤x≤

π

8

+kπ时，函数单调增．
∴函数f（x）的单调递增区间为[-

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]（k∈Z）
（2）∵f（A）=

2

2

sin（2A+

π

4

）+

1

2

=1
∴sin（2A+

π

4

）=

2

2

，
∴2∠A+

π

4

=

π

4

或

3π

4

∴∠A=0或

π

4

，
∵0＜∠A＜π
∴∠A=

π

4

∵

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∴AC=

BC

sinA

•sinB=

2

2 2

×

3

2

=

6

点评：本题主要考查了正弦定理的应用和三角函数的基础知识．综合考查了诱导公式、两角和公式、倍角公式等基础知识．