Question

18．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，AA′=2，
（1）求异面直线BC′和AD所成的角；
 （2）求证：直线BC′∥平面ADD′A′．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，由此能求出异面直线BC′和AD所成的角．
（2）连结AD′，由AD′∥BC′，能证明直线BC′∥平面ADD′A′．

解答 解：（1）∵长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD∥BC，
∴∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，
∵长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2$\sqrt{3}$，AD=2$\sqrt{3}$，AA′=2，CC′⊥BC，
∴tan∠CBC′=$\frac{C{C}^{'}}{BC}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CBC′=30°，
∴异面直线BC′和AD所成的角为30°．
证明：（2）连结AD′，
∵长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD′∥BC′，
又AD′?平面ADD′A′，BC′?平面ADD′A′，
∴直线BC′∥平面ADD′A′．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．