Question

8．如图，点A，B是单位圆上的两点，点C是圆与x轴正半轴的交点，若点A的坐标为（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），记∠COA=α，且△AOB是正三角形．
（Ⅰ）求$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}$的值；
（Ⅱ）求cos∠COB的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义、二倍角共公式，求得要求式子的值．
（2）由条件利用两角和的余弦公式，求得cos∠COB=cos（α+60°）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵A的坐标为（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），根据三角函数的定义可知，sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1+sin2α}{1+cos2α}=\frac{1+2sinαcosα}{{2{{cos}^2}α}}=\frac{1}{18}$．
（Ⅱ）∵△AOB为正三角形，∴∠AOB=60°．
∴cos∠COB=cos（α+60°）=cosαcos60°-sinαsin60°=-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{4}{5}$×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{-3-4\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义、二倍角共公式，两角和的余弦公式，属于基础题．