Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x}{ln（ax）+2}$（a≠0）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的最小值与最大值．

Answer 1

分析 （1）求出切线斜率f′（$\frac{1}{2}$），在计算f（$\frac{1}{2}$），利用点斜式方程得出切线方程；
（2）求出f（x）的极值点，对极值点与区间[2，4]的关系进行讨论得出f（x）的单调性，从而得出f（x）的最值．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=$\frac{x}{ln2x+2}$．f′（x）=$\frac{ln2x+1}{（ln2x+2）^{2}}$．
∴f（x）在（$\frac{1}{2}$，f（$\frac{1}{2}$））处的切线斜率k=f′（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
又f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴切线方程为y-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$），即2x-8y+1=0．
（2）f′（x）=$\frac{lnax+1}{（lnax+2）^{2}}$，令f′（x）=0得x=$\frac{1}{ae}$．
若a＜0，则f（x）在[2，4]上无意义，不符合题意．故a＞0．
①若$\frac{1}{ae}$≤2，即a≥$\frac{1}{2e}$时，当x∈[2，4]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[2，4]上是增函数，
∴f_min（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$，f_max（x）=f（4）=$\frac{4}{ln4a+2}$．
②若$\frac{1}{ae}$≥4，即a≤$\frac{1}{4e}$时，当x∈[2，4]时，f′（x）＜0，∴f（x）在[2，4]上是减函数，
∴f_min（x）=f（4）=$\frac{4}{ln4a+2}$，f_max（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$．
③若2＜$\frac{1}{ae}$＜4，即$\frac{1}{4e}＜a＜\frac{1}{2e}$，则f（x）在[2，$\frac{1}{ae}$）上单调递减，在（$\frac{1}{ae}$，4]上单调递增．
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{ae}$）=$\frac{1}{ae}$，f_max（x）=f（2）=$\frac{2}{ln2a+2}$．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．