Question

11．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，且目标函数z=mx-ny（m＞0，n＜0）的最大值为-6，则$\frac{n}{m-1}$的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的经过的点，求解最大值时的关系式，然后求解所求的表达式的取值范围．

解答 解：x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥1}\\{2x-y+1≤0}\end{array}\right.$，的可行域如图：
目标函数z=mx-ny（m＞0，n＜0），
可知：y=$\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$，并且$\frac{m}{n}＜0$，$-\frac{1}{n}＞0$，
当直线y=$\frac{m}{n}x-\frac{z}{n}$经过点（-2，-3）时，目标函数取得最大值，
可得-2m+3n=-6，所以n=$\frac{2m-6}{3}$＜0，
所以0＜m＜3，则$\frac{n}{m-1}$=$\frac{2m-6}{3（m-1）}$，
令t=m-1，可得t∈（-1，2）．则$\frac{2m-6}{3（m-1）}$=$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$
，当-1＜t＜0时，$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$＞2，
当t∈（0，2）时，$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$＜0，
综上$-\frac{4}{3t}$-$\frac{2}{3}$的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．
$\frac{n}{m-1}$的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．