Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点P（2，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$）在椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，圆O：x²+y²=a²，B₁（0，-b），B₂（0，b），E为椭圆C上异于顶点的任意一点，点F在圆O上，且EF⊥x轴，E与F在x轴两侧，直线EB₁，EB₂分别与x轴交于点G，H，求证：∠GFH为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：c=1，a²=b²+1．由两点间的距离公式及椭圆的定义可知$a=\sqrt{5}$，b=2，即可求得椭圆方程；
（2）设E和F点坐标，将E和F代入椭圆和圆的方程，由B₁（0，-2），B₂（0，2），求得直线${l_{E{B_1}}}$和${l_{E{B_1}}}$的方程，分别求得其x交点坐标，求得向量$\overrightarrow{FG}$和$\overrightarrow{FH}$，由向量数量积的坐标表示，求得$\overrightarrow{FG}$•$\overrightarrow{FH}$=0，∠GFH为定值90°．

解答 解：（1）由题意知，F₁（-1，0），F₂（1，0），a²=b²+1．
∵点$P（{2，\;\;\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）$在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{{{（2+1）}^2}+{{（{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}+\sqrt{{{（2-1）}^2}+{{（{\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}=2\sqrt{5}$，
∴$a=\sqrt{5}$，b=2，
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
证明：（2）设E（x₀，y₀），F（x₀，y_F），且x₀≠0，y₀≠0．
由题意，得圆O：x²+y²=5．
∵点E在椭圆C上，点F在圆O上，
∴$\left\{\begin{array}{l}4x_0^2+5y_0^2=20\\ x_0^2+y_F^2=5\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}y_0^2=4-\frac{4}{5}x_0^2\\ y_F^2=5-x_0^2.\end{array}\right.$，
∵B₁（0，-2），B₂（0，2），
∴${l_{E{B_1}}}$：$y=\frac{{{y_0}+2}}{x_0}x-2$，${l_{E{B_2}}}$：$y=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}x+2$，
∴直线EB₁与x轴的交点$G（{\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}+2}}，\;\;0}）$，直线EB₂与x轴的交点$H（{\frac{{-2{x_0}}}{{{y_0}-2}}，\;\;0}）$，
∴$\overrightarrow{FG}=（{\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}+2}}-{x_0}，\;\;-{y_F}}）=（{\frac{{-{x_0}{y_0}}}{{{y_0}+2}}，\;\;-{y_F}}）$，
$\overrightarrow{FH}=（{\frac{{-2{x_0}}}{{{y_0}-2}}-{x_0}，\;\;-{y_F}}）=（{\frac{{-{x_0}{y_0}}}{{{y_0}-2}}，\;\;-{y_F}}）$，
∴$\overrightarrow{FG}\;•\;\overrightarrow{FH}=\frac{x_0^2y_0^2}{y_0^2-4}+y_F^2=\frac{{x_0^2（{4-\frac{4}{5}x_0^2}）}}{{-\frac{4}{5}x_0^2}}+5-x_0^2=0$，
∴∠GFH=90°，
故∠GFH为定值90°．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及其简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系，向量数量积的坐标表示及两点之间的距离公式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．