题目内容
4．记函数f（x）的导数为f（1）（x），f（1）（x）的导数为f（2）（x），…，f（n-1）（x）的导数为f（n）（x）（n∈N*），若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：f（x）≈f（0）+$\frac{{{f^{（1）}}（0）}}{1!}x+\frac{{{f^{（2）}}（0）}}{2!}{x^2}+\frac{{{f^{（3）}}（0）}}{3!}{x^3}$+…+$\frac{{{f^{（n）}}（0）}}{n!}{x^n}$，若取n=4，根据这个结论，则可近似估计cos2≈-$\frac{1}{3}$（用分数表示）．分析 f（x）=cosx，f（1）（x）=-sinx，f（2）（x）=-cosx，f（3）（x）=sinx，f（4）（x）=cosx，…，可得T=4，代入即可得出．
解答 解：f（x）=cosx，f（1）（x）=-sinx，f（2）（x）=-cosx，f（3）（x）=sinx，f（4）（x）=cosx，…，∴T=4，
∴当n=4时，f（2）=cos2=f（0）+0×2+$\frac{-1}{2!}×{2}^{2}$+$\frac{0}{3!}×{2}^{4}$=-$\frac{1}{3}$．
故答案为：-$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了导数的运算法则、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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①x=y2②y=1-x2③y=$\frac{1}{2}$x-3④y2=1-x．
| A． | ①② | B． | ②③ | C． | ③④ | D． | ①②④ |
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