Question

已知f(x)=-

1

2

ax2+x-ln(1+x)，其中a＞0．
（1）若x=3是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）求导函数f′（x），由f′（3）=0，求得a的值；
（2）求f（x）导函数f′（x），讨论a的值对应f′（x）与f（x）的变化情况，从而确定f（x）的单调增区间和单调减区间；
（3）根据（2）中f（x）的单调性求出f（x）在（0，+∞）的最大值是否为f（0）=0，从而确定a的取值范围．

解答：解：（1）∵f(x)=-

1

2

ax2+x-ln(1+x)，其中a＞0，
∴f′（x）=-ax+1-

1

1+x

=

-ax2-(a-1)x

x+1

，其中x∈（-1，+∞）；
∵f′（3）=0，即-9a-3（a-1）=0，解得a=

1

4

，
∴a的值是a=

1

4

；
（2）令f′（x）=0，得

-ax2-(a-1)x

x+1

=0，其中x∈（-1，+∞）；
即ax²+（a-1）x=0，解得x₁=0，x₂=

1

a

-1；
①当0＜a＜1时，x₁＜x₂，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	（-1，0）	0	(0， 1 a -1)	1 a -1	( 1 a -1，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	f（0）	增	f( 1 a -1)	减

∴f（x）的单调增区间是(0，

1

a

-1)，f（x）的单调减区间是（-1，0），(

1

a

-1，+∞)；
②当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）；
③当a＞1时，-1＜x₂＜0，f（x）与f′（x）的变化情况如下表：

x	(-1， 1 a -1)	1 a -1	( 1 a -1，0)	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	减	f( 1 a -1)	增	f（0）	减

∴f（x）的单调增区间是(

1

a

-1，0)，f（x）的单调减区间是(-1，

1

a

-1)，（0，+∞）；
综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间是(0，

1

a

-1)，f（x）的单调减区间是（-1，0），(

1

a

-1，+∞)；
当a=1时，f（x）的单调减区间是（-1，+∞）；
当a＞1，f（x）的单调增区间是(

1

a

-1，0)．f（x）的单调减区间是(-1，

1

a

-1)，（0，+∞）；
（3）由（2）知，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，但f(

1

a

-1)＞f(0)=0，所以0＜a＜1不合题意；
当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）≤f（0），
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为f（0）=0，符合题意；
∴f（x）在[0，+∞）上的最大值为0时，a的取值范围是{a|a≥1}．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性和求函数的最值问题，是较难的题目．