Question

已知函数f（x）=

1

|x+2|

+x
（1）判断函数f（x）在（-2，-1）上的单调性并加以证明；
（2）若函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数零点的判定定理

专题：数形结合,分类法,函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）在（-2，-1）上是减函数，用单调性定义证明即可；
（2）解法一：函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个不同的零点，即f（x）的图象与y=2|x|+m的图象
有四个不同的交点，结合图象求出m的取值范围；
解法二：函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个不同的零点，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有四个不同的实根，
讨论函数h（x）=

1

|x+2|

的图象与y=2|x|-x+m的图象交点情况，求出m的取值范围；
解法三：函数g（x）有4个不同零点，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有4个不同的实根，去掉绝对值，
方程化为①

x≥0 x2+(m+2)x+(2m-1)=0

与②

x＜-2 3x2+(6-m)x-(2m+1)=0

与③

-2＜x＜0 3x2+(6-m)x-(2m-1)=0

，讨论方程组解的情况，求出m的取值范围；
解法四：函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=

1

|x+2|

+x-2|x|有4个不同的实根，
令h（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|，考查h（x）的单调性与值域，求出方程h（x）=m有4个实根的m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

|x+2|

+x=

1 x+2 +x，x＞-2 - 1 x+2 +x，x＜-2

，
函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，
证明如下：
设x₁、x₂∈（-2-1），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（

1

x1+2

-

1

x2+2

）+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）[1-

1

(x1+2)(x2+2)

]；   
∵-2＜x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，
0＜（x₁+2）（x₂+2）＜1，
∴1-

1

(x1+2)(x2+2)

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴函数f（x）在（-2，-1）上单调递减；

（2）解法一：
∵函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个不同的零点，
∴函数f（x）=

1

|x+2|

+x的图象与函数y=2|x|+m的图象有四个不同的交点； 
结合图象，得①当x＜-2 时，
函数f（x）=-

1

x+2

+x的图象与函数y=2|x|+m的图象恰有一个交点，
②当x＞-2 时，为满足g（x）有4个不同的零点，则函数f（x）=

1

x+2

+x（x＞-2）的图象
与函数y=2|x|+m图象恰有三个交点符合要求，而f（x）=

1

x+2

+x（x＞-2）过点（0，

1

2

），
结合图象知，m＜

1

2

； 
当直线y=-2x+m与y=

1

x+2

+x（x＞-2）相切时，在（-2，+∞）内只有两个交点；
∴

y= 1 x+2 +x y=-2x+m

，消去y，得

1

x+2

+3x-m=0；
整理，得3x²+（6-m）x+1-2m=0，
△=（6-m）²-4×3（1-2m）=0，
解得m=-6-2

3

（舍去），m=-6+2

3

；  
∴当m∈（6+2

3

，

1

2

）时，函数g（x）有4个零点．
解法二：
∵函数g（x）=f（x）-2|x|-m有四个零点，
∴方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有四个实根，
即函数h（x）=

1

|x+2|

的图象与函数y=2|x|-x+m的图象有四个交点，
∴函数h（x）=

1

|x+2|

的图象与函数y=

x+m，x≥0 -3x+m，x＜0

得图象有四个交点；
①当x≥0 时，若函数h（x）=

1

x+2

的图象与函数y=x+m的图象有一个交点，则m≤

1

2

； 
②当x＜0 时，若函数h（x）=

1

|x+2|

（x＜0）的图象
与函数y=-3x+m的图象恰好有3个交点符合要求，则m＜

1

2

；    
当直线y=-3x+m与y=

1

x+2

（x＞-2）相切时，
在（-∞，0）内只有两个交点，
∴

y= 1 x+2 ，x＞-2 y=-3x+m

，消去y，得

1

x+2

=-3x+m，
整理，得3x²+（6-m）x+1-2m=0，
△=（6-m）²-4×3（1-2m）=0，
解得m=-6-2

3

（舍去），m=-6+2

3

； 
∴当m∈（6+2

3

，

1

2

）时，函数g（x）有4个零点．
解法三：
函数g（x）有4个不同零点，即方程

1

|x+2|

+x-2|x|-m=0有4个不同的实根；
方程化为：①

x≥0 x2+(m+2)x+(2m-1)=0

与②

x＜-2 3x2+(6-m)x-(2m+1)=0

与③

-2＜x＜0 3x2+(6-m)x-(2m-1)=0

；
记v（x）=x²+（m+2）x+（2m-1），u（x）=3x²+（6-m）x-（2m+1），
w（x）=3x²+（6-m）x-（2m-1），
则u（x）、v（x）、w（x）开口均向上；
对①：由v（-2）=-1＜0知v（x）在[0，+∞）最多一个零点，
当v（0）=2m-1≤0，即m≤

1

2

时，v（x）在[0，+∞）上有一个零点，
当v（0）=2m-1＞0，即m＞

1

2

时，v（x）在[0，+∞）没有零点； 
对②：由u（-2）=-1＜0知u（x）在（-∞，-2）有唯一零点；
对③：为满足g（x）有4个零点，w（x）在（-2，0）应有两个不同零点；
∴

w(0)=1-2m＞0 w(-2)=1＞0 △=(6-m)2-12(1-2m)＞0 -2＜- 6-m 6 ＜0

，
解得-6+2

3

＜m＜

1

2

；
综上所述：当m∈（6+2

3

，

1

2

）时，函数g（x）有4个零点．
解法四：
函数g（x）都有4个不同零点，即方程m=

1

|x+2|

+x-2|x|有4个不同的实根；
令h（x）=

1

|x+2|

+x-2|x|，则h（x）=

- 1 x+2 +3x，x＜-2 1 x+2 +3x，-2＜x＜0 1 x+2 -x，x≥0

；
∵h（x）在（-∞，-2）上单调递增，且其值域为R，
∴h（x）=m在（-∞，-2）有一个实根；
又∵h（x）在[0，+∞）单调递减，且其值域为（-∞，

1

2

]，
∴当m≤

1

2

时，h（x）=m在[0，+∞）上有一个实根，
当m＞

1

2

时，h（x）=m在[0，+∞）上没有实根；
为满足g（x）都有4个不同零点，h（x）=m在（-2，0）至少有两个实根；
当-2＜x＜0时，h（x）=

1

x+2

+3（x+2）-6≥2

3

-6，
∴h（x）在（-2，-2+

1

3

]单调递减，且此时值域为[2

3

-6，+∞），
h（x）在[-2+

1

3

，0）单调递增，且此时值域均为[2

3

-6，

1

2

）；．
∴m∈（6+2

3

，

1

2

）时，方程h（x）=m在（-2，0）有两个实根 
综上所述：当m∈（6+2

3

，

1

2

）时，函数g（x）有4个零点．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数的单调性的判断与证明，
考查了函数的零点与方程的实数根的应用问题，是综合性题目．