Question

（2013•金山区一模）已知数列{a_n}满足a1=-

6

7

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N*），S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）若

a

2 2

=a1•a3，求λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）当λ=

1

3

时，数列{a_n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知递推公式可求出a₂，a₃，结合已知

a

2 2

=a1•a3，可求λ的值
（2）由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0，则1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0，两式相减可得a_n+1与a_n+2的递推关系，结合等比数列的通项公式可求
（3）假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列．由此入手能够导出数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．

解答：解：∵a1=-

6

7

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0
∴1+a₁-λa₂=0即1-

6

7

-λa2=0
∴a₂=

1

7λ

同理可求，a₃=

λ+1

7λ2

∵

a

2 2

=a1•a3
∴

1

49λ2

=-

6

7

•

λ+1

7λ2

∴λ=-

7

6

（2）：由题意 1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0①
              1+a₁+a₂+…+a_n+a_n+1-λa_n+2=0②
由②-①得（1+λ）a_n+1-λa_n+2=0，又λ≠0，λ≠-1，n∈N^*，
∴an+2=

λ+1

λ

an
故数列{a_n}从第二项开始为等比数列
∵a₂=

1

7λ

∴n≥2时，an=

1

7λ

(

λ+1

λ

)n-2
∴数列{a_n}的通项an=

- 6 7 ，n=1 1 7λ •( λ+1 λ )n-2，n≥2

（3））∵λ=

1

3

，
∴an=

- 6 7 ，n=1 3•4n-2 7 ，n≥2

∵假设存在任意三项a_m，a_k，a_p成等差数列
①不防设当m＞k＞p≥2，
∵当n≥2时，数列{a_n}单调递增，
∴2a_k=a_m+a_p，
∴2•（

3

7

）•4k-2=（

3

7

）•4m-2+（

3

7

）•4p-2，
∴2•4^k-p=4^m-p+1，
由上式知：左边=偶数≠右边=奇数
∴当n≥2时，数列{a_n}不存在三项成等差数列．
②假设存在成等差数列的三项中包含a₁时
不妨设m=1，k＞p≥2且a_k＞a_p，
∵当n≥2时，a_n＞a₁，
∴2a_p=a₁+a_k，
∴2•（

3

7

）•4p-2=-

6

7

+（

3

7

）•4k-2，
∴2•4^p-2=-2+4^k-2，
∴2^（2p-3）=2^2（k-2）-2，
∵k＞p≥2，
∴当且仅当k=3，p=2时成立，
∴数列{a_n}存在a₁，a₂，a₃或a₃，a₂，a₁成等差数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a_n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．