Question

已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1）．
（1）设函数g（x）=-a（x-1）+f（x）在区间[2，e²+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（2）若k∈Z，且f（x）+x-1-k（x-2）＞0对x＞2恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出函数g（x）=-a（x-1）+f（x）的导数，判断导函数的单调性，利用函数在区间[2，e²+1]上不单调，列出不等式组，即可求实数a的取值范围；
（2）利用f（x）+x-1-k（x-2）＞0求出k的不等式，利用函数的导数求解新函数在x＞2的最小值，利用恒成立，即可求k的最大值．

解答： 解：（1）g'（x）=-a+1+ln（x-1）在（1，+∞）上递增              …（1分）
由已知，有

g′(2)=-a+1＜0 g′(e2+1)=-a+3＞0

解得1＜a＜3
∴a的取值范围为（1，3）．…（4分）
（2）由题知k＜

(x-1)ln(x-1)+x-1

x-2

对x＞2恒成立．…（5分）
令u（x）=

(x-1)ln(x-1)+x-1

x-2

则u'（x）=

-ln(x-1)+x-3

(x-2)2

令v（x）=-ln（x-1）+x-3v′(x)=1-

1

x-1

=

x-2

x-1

，
∵x＞2∴v'（x）＞0即v（x）在（2，+∞）上递增                 …（8分）
又∵v（4）=-ln3+1＜0，v（5）=-2ln2+2＞0
∴?x₀∈（4，5），使得v（x₀）=0，即u'（x₀）=0
∴u（x）在（4，x₀）上递减，在（x₀，5）上递增．…（10分）
∴[u(x)]min=u(x0)=

(x0-1)ln(x0-1)+(x0-1)

x0-2

=

(x0-1)(x0-3)+(x0-1)

x0-2

=x0-1∈(3，4)
k＜[u（x）]_min=x₀-1
又∵k∈Z，∴k的最大值为3．…（12分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的极值，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大．