Question

3．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$ （t为参数）．
（1）求椭圆方程；
（2）当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为$\sqrt{6}$？

Answer 1

分析 求出椭圆的方程，化简直线的参数方程与标准形式，代入椭圆方程利用韦达定理以及弦长公式求解即可．

解答 解：椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，
椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，化直线参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=m+2t}\end{array}\right.$ 为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{5}}{5}t′}\\{y=m+\frac{2\sqrt{5}}{5}t′}\end{array}\right.$（t′为参数）．
代入椭圆方程得
（m+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t′）²+4（$\frac{\sqrt{5}}{5}$t′）²=4?8t′²+4$\sqrt{5}$mt′+5m²-20=0
当△=80m²-160m²+640=640-80m²＞0，
即-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$．
方程有两不等实根t′₁，t′₂，
则弦长为|t′₁-t′₂|=$\sqrt{（t{′}_{1}+t{′}_{2}）^{2}-4t{′}_{1}t{′}_{2}}$=$\frac{\sqrt{640-80{m}^{2}}}{8}$
依题意知=$\frac{\sqrt{640-80{m}^{2}}}{8}$=$\sqrt{6}$，解得m=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力．