Question

12．P是抛物线y=x²上的动点，Q是直线2x-y-4=0上的动点，则|PQ|的最小值为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 设与直线2x-y-4=0平行切与抛物线相切的直线为y=2x+b则可知|PQ|的最小值即为两直线的距离．直线方程y=2x+b与抛物线方程联立，消去y根据判别式等于0求得b，进而求得直线与抛物线的切点，最后根据点到直线的距离公式求得答案．

解答 解：设与直线2x-y-4=0平行且与抛物线相切的直线为y=2x+b则可知|PQ|的最小值即为两直线间的距离．
则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{y={x}^{2}}\end{array}\right.$消去y得x²-2x-b=0，△=4+4b=0
∴b=-1，进而可得直线y=2x-1与抛物线交点为（1，1）
交点到直线2x-y-4=0的距离为：$\frac{|2-1-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．常涉及直线与圆锥曲线联立方程，根据判别式来判断直线与圆锥曲线的关系．