Question

4．已知点A是抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上，且满足|PF|=m|PA|，当M取得最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． $\sqrt{5}+1$

Answer 1

分析 过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合||PF|=m|PA|，可得$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，设PA的倾斜角为α，则当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：抛物线的标准方程为x²=4y，
则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=-1，
过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，
∵|PF|=m|PA|，∴|PN|=m|PA|，则$\frac{|PN|}{|PA|}$=m，
设PA的倾斜角为α，则sinα=m，
当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx-1，代入x²=4y，
可得x²=4（kx-1），
即x²-4kx+4=0，
∴△=16k²-16=0，∴k=±1，
∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2（$\sqrt{2}$-1），
∴双曲线的离心率为$\frac{2}{2（\sqrt{2}-1）}$=$\sqrt{2}$+1．
故选C．

点评 本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最小值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．