Question

已知棱柱ABCD-A′B′C′D′，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，对角线AC、BD交于点O，A′O⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：不论侧棱AA′的长度为何值，总有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D；
（Ⅱ）当二面角B-DD′-C为45°时，求侧棱AA′的长度．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）分别以OA，OB，OA′为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面AA′C′C的一个法向量和平面BB′D′D的法向量，根据两个平面的法向量垂直得到不论侧棱AA′的长度为何值，总有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D；
（Ⅱ）求出平面CDD′C′的法向量，结合二面角B-DD′-C为45°，求出h与a的关系，进而利用勾股定理可得侧棱AA′的长度．

解答： 证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又A′O⊥平面ABCD，
∴A′O⊥BD，A′O⊥AC，
分别以OA，OB，OA′为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
∵底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD=60°，
∴A（

3 a

2

，0，0），B（0，

a

2

，0）．D（0，-

a

2

，0），
设OA′=h，则A′（0，0，h）．
显然，平面AA′C′C的一个法向量为

m

=（0，1，0），
设平面BB′D′D的法向量为

n

=（x，y，z），
由

DB

=（0，a，0），

BB′

=

AA′

=（-

3 a

2

，0，h），

n ⊥ DB n ⊥ BB′

得：

n • DB =0 n • BB′ =0

，即

ay=0 - 3 a 2 x+hz=0

，
取x=1，则

n

=（1，0，

3 a

2h

），
则

m

•

n

=0，
即平面AA′C′C⊥平面BB′D′D，
故不论侧棱AA′的长度为何值，总有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D．
解：（Ⅱ）设平面CDD′C′的法向量为

p

=（x，y，z），
由

DC

=

AB

=（-

3 a

2

，

a

2

，0）.

DD′

=

AA′

=（-

3 a

2

，0，h），

p ⊥ DC p ⊥ DD′

得：

p • DC =0 p • DD′ =0

，即 

- 3 a 2 x+ a 2 y=0 - 3 a 2 x+hz=0

，
取x=1，则

p

=（1，

3

，

3 a

2h

），
则cos＜

n

，

p

＞=

1+ 3a2 4h2

1+ 3a2 4h2 4+ 3a2 4h2

=

1+ 3a2 4h2

4+ 3a2 4h2

，
又二面角B-DD′-C为45°，所以cos＜

n

，

p

＞=

2

2

，

1+ 3a2 4h2

4+ 3a2 4h2

=

2

2

，解得h²=

3a2

8

，
此时AA′=

h2+OA2

=

3a2 8 + 3a2 4

=

3 2

4

a．

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角，平面与平面垂直的判定，其中建立空间坐标系，将面面垂直问题和二面角问题，转化为向量垂直和向量夹角问题是解答的关键．