题目内容

10．从2016年1月1日起，湖北、广东等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
上一年的出险次数012345次以上（含5次）
下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%
连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2150）、（11，2400）、（18，3140）、（25，3750）、（25，4000）、（31，4560）、（37，5500）、（45，6500），设由这8组数据得到的回归直线方程为：$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+1055
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查，得到一年中出险次数的频数分布如下（并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率）：
一年中出险次数012345次以上（含5次）
频数5003801001541
湖北的李先生于2016 年1月购买了一辆价值20 万元的新车．根据以上信息，试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担．（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）．

分析 （Ⅰ）求出样本中心，代入回归方程解出b；
（Ⅱ）求出下一年车险倍率X的分布列，计算X的数学期望，得出车主下一年的保费，根据X的数学期望是否大于1得出结论．

解答 解：（Ⅰ）$\overline x=\frac{1}{8}（8+11+18+25+25+31+37+45）=\frac{200}{8}=25$万元，$\overline y=\frac{1}{8}（2150+2400+3140+3750+4000+4560+5500+6500）=\frac{3200}{8}=4000$元，…..2分
直线$\widehaty=b\widehatx+1055$经过样本中心$（\overline x，\overline y）$，即（25，4000）．
∴$b=\frac{\overline y-1055}{\overline x}=\frac{4000--1055}{25}=117.8$．…..5分
（Ⅱ）设该车辆2017 年的保费倍率为X，则X 为随机变量，X 的取值为0.85，1，1.25，1.5，1.75，2．…7 分
且 X 的分布列为

 X 0.85 1 1.25 1.5 1.75 2
 P 0.50 0.38 0.100.015  0.0040.001 
计算得下一年保费的期望为
EX=0.85×0.5+1×0.38+1.25×0.1+1.5×0.015+1.75×0.004+2×0.001=0.9615 …10 分
该车辆估计2017年应缴保费为：（1 17.8×20+1055）×0.9615=3279.677≈3280 元．…11 分
因0.96＜1 （或3280＜3411 ），基于以上数据可知，车险新政总体上减轻了车主负担．…12 分

点评 本题考查了线性回归方程的求解，随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．

练习册系列答案
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20．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．8+πB．8+4πC．16+4πD．16+π
1．在一次测试中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2），B（2，3），C（3，4），D（4，5），则y与x的回归方程为（　　）
A．$\widehat{y}$=x-1B．$\widehat{y}$=2x+1C．$\widehat{y}$=x+2D．$\widehat{y}$=x+1
18．对两个变量y与x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2）…，（xn，yn），则下列不正确的说法是（　　）
A．若求得相关系数r=-0.89，则y与x具备很强的线性相关关系，且为负相关
B．同学甲根据这组数据得到的回归模型1的残差平方和E1=1.8，同学乙根据这组数据得到的回归模型2的残差平方和E2=2.4，则模型1的拟合效果更好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，模型1的相关指数R12=0.48，模型2的相关指数R22=0.91，则模型1的拟合效果更好
D．该回归分析只对被调查样本的总体适用
5．已知函数f（x）=sinx-2x，且a=f（ln$\frac{3}{2}$），b=f（log2$\frac{1}{3}$），c=f（20.3），则（　　）
A．c＞a＞bB．a＞c＞bC．a＞b＞cD．b＞a＞c
15．已知a＞0，若点A（a，0），B（0，a），C（-4，0），D（6，0），E（0，-6）满足△ABC的外接圆与直线DE相切，则a的值为2$\sqrt{5}$．
2．已知x=a+b，y=a-b，求（x3+y3）2-（x3-y3）2的值．
19．若$\int_1^a$（2x+$\frac{1}{x}$）dx=3+ln2，则a的值是（　　）
A．6B．4C．3D．2
20．已知等比数列{an}的公比为正数，且a1=2，4a2•a8=a42，则a3=$\frac{1}{2}$．

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