题目内容

15．已知向量$\overrightarrow m$=（cosx-1，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow n$=（cosx+1，cosx），x∈R．f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosB+bcosC=1且f（A）=0，求△ABC面积最大值．

分析 （1）利用平面向量的数量积公式得到三角函数式，然后利用倍角公式等化简，求单调增区间；
（2）利用（1）的结论，求出A，然后借助于余弦定理求出bc≤1，从而求面积的最值．

解答 解：（1）由题意知$f（x）={cos^2}x-1+\sqrt{3}sinxcosx=sin（{2x+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}$．
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
得f（x）的单调递增区间$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]（{k∈Z}）$…6（分）
（2）$f（A）=sin（{2A+\frac{π}{6}}）-\frac{1}{2}=0$，又0＜A＜π，则A=$\frac{π}{3}$
．又ccosB+bcosC=1得a=1，
由余弦定理得$1={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}≥2bc-bc$．得bc≤1．
△ABC面积s=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}≤\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
当且仅当b=c即△ABC为等边三角形时面积最大为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$…12（分）

点评 本题以向量为载体考查了三角函数式的化简、余弦定理的运用以及解三角形；属于中档题．

练习册系列答案
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5．已知二次函数f（x）=x2-bx+c在x=1处取得最小值-1．
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6．成等差数列的三个正数的和等于12，并且这三个数分别加上1，4，11后成为等比数列{bn}中的b2，b3，b4，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A．bn=2nB．bn=3nC．bn=2n-1D．bn=3n-1
3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$C：\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0
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7．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+y-4≤0\\ x-y≥0\\ y≥0\end{array}\right.$表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是1$-\frac{π}{8}$．
4．抛物线y=$\frac{1}{8}$x2的焦点到准线的距离为（　　）
A．2B．$\frac{1}{2}$C．$\frac{1}{4}$D．4
5．在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．
（Ⅰ）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线C1与曲线C2相交于A，B两点，点M（1，0），求||MA|-|MB||．

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