题目内容

1.已知直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为$ρ=4sin({θ-\frac{π}{6}})$.
(I)求圆C的直角坐标方程;
(II)若P(x,y)是圆上的任意一点,求$\sqrt{3}x+y$的取值范围.

分析 (I)利用ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,求圆C的直角坐标方程;
(II)将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t,即可求$\sqrt{3}x+y$的取值范围.

解答 解:(I)因为圆C的极坐标方程为$ρ=4sin(θ-\frac{π}{6})$,
所以${ρ^2}=4ρsin(θ-\frac{π}{6})=4ρ(\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinθ-\frac{1}{2}cosθ)$,
又ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,
所以x2+y2=$2\sqrt{3}y-2x$,
所以圆C的普通方程x2+y2$+2x-2\sqrt{3}y=0$…(5分)
(II)设$z=\sqrt{3}x+y$,
由圆C的方程x2+y2$+2x-2\sqrt{3}y=0$⇒${(x+1)^2}+{(y-\sqrt{3})^2}=4$,
所以圆C的圆心是$(-1,\sqrt{3})$,半径是2,
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$代入$z=\sqrt{3}x+y$得z=-t,
又直线l过$C(-1,\sqrt{3})$,圆C的半径是2,所以-2≤t≤2,
所以-2≤-t≤2,
即$\sqrt{3}x+y$的取值范围是[-2,2].(10分)

点评 本题考查极坐标方程与直角方程的互化,考查直线参数方程的运用,属于中档题.

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