题目内容
如图，景点A在景点B的正北方向2千米处，景点C在景点B的正东方向2| 3 |
（Ⅰ）游客甲沿CA从景点C出发行至与景点B相距
| 7 |
（Ⅱ）甲沿CA从景点C出发前往景点A，乙沿AB从景点A出发前往景点B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时．若甲乙两人之间通过对讲机联系，对讲机在该景区内的最大通话距离为3千米，问有多长时间两人不能通话？（精确到0.1小时，参考数据：
| 5 |
| 15 |
考点：解三角形的实际应用
专题：应用题,解三角形
分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；
（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．
（Ⅱ）设甲出发后的时间为t小时，①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，在△AMQ中，由余弦定理可得结论．
解答：
解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2
，∴∠C=30°
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2，即12+PC2-2×2
×PC×
=7
化简，得PC2-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去） …（3分）
在△PBC中，由正弦定理得
=
，即
=
∴sinα=
…（6分）
（Ⅱ）Rt△ABC中，BA=2，BC=2
，AC=
=4
设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4-t
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2，
即12+PC2-2×2
×PC×
=7，化简得PC2-6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4-t）2+（2t）2-2×2t×（4-t）×cos60°=7t2-16t+16
令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2-16t+7＞0，解得t＜
或t＞
∴0≤t＜
…（12分）
综上，当0≤t＜
时，甲、乙间的距离大于3米．
又
≈0.6，故两人不能通话的时间大约为0.6小时 …（13分）
| 3 |
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2，即12+PC2-2×2
| 3 |
| ||
| 2 |
化简，得PC2-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去） …（3分）
在△PBC中，由正弦定理得
| PC |
| sinα |
| PB |
| sin30° |
| 1 |
| sinα |
| ||
|
∴sinα=
| ||
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（Ⅱ）Rt△ABC中，BA=2，BC=2
| 3 |
| BA2+BC2 |
设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，AM=4-t
在△PBC中，由余弦定理得BC2+PC2-2BC•PC•cos30°=BP2，
即12+PC2-2×2
| 3 |
| ||
| 2 |
解得PC=1或PC=5（舍去）
①当1≤t≤4时，乙在景点B处，甲在线段PA上，甲乙间的距离d≤BP＜3，此时不合题意；…（9分）
②当0≤t＜1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ2=（4-t）2+（2t）2-2×2t×（4-t）×cos60°=7t2-16t+16
令MQ＞3即MQ2＞9，得7t2-16t+7＞0，解得t＜
8-
| ||
| 7 |
8+
| ||
| 7 |
∴0≤t＜
8-
| ||
| 7 |
综上，当0≤t＜
8-
| ||
| 7 |
又
8-
| ||
| 7 |
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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下列说法中正确的是（ ）
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