Question

6．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1满足f（-1）=0，且x∈R时，f（x）的值域为[0，+∞）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=f（x）-2kx，k∈R．
①若g（x）在x∈[-2，2]时是单调函数，求实数k的取值范围；
②若g（x）在x∈[-2，2]上的最小值g（x）_min=-15，求k值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-1）=0，判别式为0，解方程可得a=1，b=2，进而得到函数的解析式；
（2）①根据二次函数的性质即可求出k的范围．
②需要分类讨论，根据二次函数的性质即可求出k的值．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}a-b+1=0\\ \frac{{4a-{b^2}}}{4a}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²+2x+1，
（2）①g（x）=x²-2（k-1）x+1；
所以k-1≤-2或k-1≥2，即k≤-1或k≥3；
②当k-1≤-2即k≤-1时，g（x）_min=g（-2）=4k+1=-15，得k=-4；
当k-1≥2即k≥3时，g（x）_min=g（2）=9-4k=-15，得k=6；
当-2＜k-1＜2即-1＜k＜3时，$g{（x）_{min}}=g（k-1）=1-{（k-1）^2}=-15$，得k=-3（舍）或k=5（舍）
综上k=-4或k=6．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用二次函数的值域，考查函数的单调性的运用，属于中档题