题目内容
5．已知P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x-5）2+y2=1上的动点，则|PM|-|PN|的最大值是9．分析 由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最最大值．
解答 9解：双曲线双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$上的两个焦点分别是F1（-5，0）与F2（5，0），
则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x-5）2+y2=1的圆心，半径分别是r1=2，r2=1，
∵|PF1|-|PF2|=2a=6，
∴|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，
∴|PM|-|PN|的最大值=（|PF1|+2）-（|PF2|-1）=6+3=9，
|PM|-|PN|的最大值为9，
故答案为：9
点评 本题主要考查了双曲线的简单性质和双曲线与圆的关系，着重考查了学生对双曲线定义的理解和应用，以及对几何图形的认识能力，属于中档题．
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