Question

20．不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≤-kx+4k}\end{array}\right.$（k＞0）所表示平面区域的面积为S，则$\frac{{k}^{2}+1}{S}$的最小值等于（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 先画出不等式组所表示的平面区域，然后用k表示出图形的面积，进而表示出$\frac{{k}^{2}+1}{S}$，最后利用基本不等式求出它的最值即可

解答 解：不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{y≤-kx+4k}\end{array}\right.$（k＞0）所表示平面区域如图，
A（4，0），B（0，4k），
根据题意可知三角形OAB为直角三角形，其面积等于
$\frac{1}{2}$×|OA|×|OB|=8k，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{S}$=$\frac{{k}^{2}+1}{8k}=\frac{1}{8}（k+\frac{1}{k}）≥\frac{1}{8}×2\sqrt{k•\frac{1}{k}}=\frac{1}{4}$，（k＞0）
当且仅当k=1时等号，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{S}$的最小值为$\frac{1}{4}$，
故选C．

点评 本题考查简单的线性规划，以及利用基本不等式等知识求最值问题，是中档题．