Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求使（n-8）b_n≥nk对任意n∈N⁺恒成立的实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式可得b_n，代入利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵${S}_{n}={2}^{n+1}-2$．∴n=1时，a₁=2．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，n=1时也成立．
∴a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=$lo{g}_{2}（{2}^{1+2+…+n}）$=$\frac{n（n+1）}{2}$，
（n-8）b_n≥nk，即（n-8）×$\frac{n（n+1）}{2}$≥nk，化为：k≤$\frac{（n-8）（n+1）}{2}$，
而f（n）=$\frac{（n-8）（n+1）}{2}$=$\frac{1}{2}（n-\frac{7}{2}）^{2}$-$\frac{77}{8}$，
当n=3或4时，f（n）取得最小值，f（3）=-10．
∴使（n-8）b_n≥nk对任意n∈N⁺恒成立的实数k的取值范围是（-∞，-10]．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式及其求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．