Question

19．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为$\frac{9}{16}$π，则正方体的棱长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长即可．

解答 解：∵正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为a，
∴正方体的体对角线长为：$\sqrt{3}$a，正方体的外接球的半径为：$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
球的体积为：$\frac{4}{3}$π×$（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{3}$=$\frac{9}{16}π$，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．