Question

14．△ABC的内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知cosA=$\frac{12}{13}$，bc=156．
（1）求△ABC的面积；
（2）若c-b=1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由cosA=$\frac{12}{13}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5}{13}$，由三角形的面积公式可知：S=$\frac{1}{2}$bcsinA即可求得△ABC的面积；
（2）由bc=156，c-b=1，即可求得b和c的值，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，代入即可求得a的值．

解答 解：（1）由cosA=$\frac{12}{13}$，由同角三角函数的基本关系可知：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{5}{13}$，
∵bc=156．
∴△ABC的面积S，S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×156×$\frac{5}{13}$=30，
△ABC的面积30；              …（6分）
（2）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{bc=156}\\{c-b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=12}\\{c=13}\end{array}\right.$，
∴由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccosA，…（9分）
=122+132-2×12×13×$\frac{12}{13}$，
=25，
∴a=5，
∴a的值5．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的综合应用，考查同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于中档题．