Question

【题目】给定二次函数.

（1）证明：方程的根也一定是方程的根；

（2）找出方程有4个不等实根的充要条件.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）设是方程的根（不动点），则. ①

代入方程，有左边（由①）（由①）右边.

这表明也是方程的根.

（2）必要性.由上证，二次方程 ②的根，都是四次方程 ③的根，所以，方程③有四个不等实根时，其中有两个不等实根是由②得到的.由此得出结论：

二次方程②的判别式大于0，即. ④

方程③所对应的四次多项式一定含有二次因式.这提示我们作定向分解，并找出的另一个二次因式.

由

.

可见，为使方程③有四个不等实根，二次方程

⑤

应有判别式大于0，即

. ⑥

将④、⑥合并，得方程③有四个不等实根的必要条件为. ⑦

充分性.若⑦成立，则④、⑥均成立，方程②、⑤均有两个不等实根.又若存在是方程②、⑤的公共根，则有.代入方程②，得.

故，矛盾.

从而，方程③有四个不等实根.

综上所述，方程有四个不等实根的充分必要条件是.