题目内容
【题目】已知椭圆
：
的两个焦点与短轴的一个端点恰好围成一个面积为
的等边三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，设椭圆的左右顶点分别为
、
，右焦点为
，
是椭圆上异于，的动点，直线
与椭圆在点处的切线交于点
，当点运动时，试判断以
为直径的圆与直线
的位置关系，并加以证明.
【答案】（1）
；（2）相切，证明见解析
【解析】
（1）由条件可知，
，解得
，再根据条件求
；
（2）设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，表示点
的坐标，并表示直线
的方程，利用两直线的交点求点
的坐标，并表示圆心，利用圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系.
解：（1）设椭圆半焦距为
，
依题意有
，∴，
，
，故
的方程为.
（2）以
为直径的圆与直线相切，
证明如下：易知
，
，
，在点
处的切线方程为
.
由题意可设直线的方程为.
则点坐标为
，中点
的坐标为
.
由
得
.
设点的坐标为
，则
.
所以
，
.
①当
时，点的坐标为
，点的坐标为
.
直线
轴，此时以为直径的圆
与直线相切.
②当
时，则直线的斜率
.
所以直线的方程为
.
点到直线的距离
.
又因为
，故以为直径的圆与直线相切.
综上得，当直线绕点
转动时，以为直径的圆与直线相切.
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