题目内容
【题目】已知函数,
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,证明:
,
【答案】(1)答案不唯一,见解析;(2)见解析;
【解析】
(1)求出导数,讨论a的取值范围,求出单调区间;
(2)由(1)得函数函数在
内的最小值为
,根据题意转化为
在
恒成立即可.
(1),因为
,
当时,
,函数
在(0,1)内单调递减,在
内单调递增;
当时,即
,函数
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,
,函数
在
内单调递增;
当时,即
,函数
在(0,1)内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
综上:当时,
在(0,1)内单调递减,在
内单调递增;
当时,
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,
在
内单调递增;
当时,
在(0,1)内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(2)当时,由(1)可得函数
在
内单调递减,在
内单调递增,
函数
在
内的最小值为
,
要证:不等式成立,
即证:,
即证:,
,
即证:,
令,
则函数在
内单调递减,
,因为
,
则,即当
时,
成立
则当时,
成立.
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