Question

7．已知点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）若动点P的轨迹为曲线C，求此曲线C的方程；
（2）若曲线C的切线在两坐标轴上有相等的截距，求此切线方程．

Answer 1

分析 （1）设P点的坐标为（x，y），用坐标表示|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，整理即得点P的轨迹方程；
（2）由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，然后分圆的切线过原点和不过原点讨论，再由点到直线的距离公式列式求出待定系数法，则切线方程可求．

解答 解：（1）设P点的坐标为（x，y），
∵两定点A（-3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，
∴（x+3）²+y²=4[（x-3）²+y²]，
即（x-5）²+y²=16．
所以此曲线的方程为（x-5）²+y²=16 …（6分）
（2）当切线在两坐标轴上截距均为0时，设切线y=kx，由相切得$\frac{|5k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，
∴k=±$\frac{4}{3}$，∴切线方程为y=±$\frac{4}{3}$ x；
当切线在两坐标轴上截距相等且不为0时，设切线x+y=a（a≠0），
由相切有$\frac{|5-a|}{\sqrt{2}}$=4，∴a=5±4$\sqrt{2}$，
∴切线方程为x+y=5±4$\sqrt{2}$，
综上：切线方程为y=±$\frac{4}{3}$ x或x+y=5±4$\sqrt{2}$…（6分）

点评 考查两点间距离公式及圆的性质，着重考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用，属于中档题．