Question

【题目】在平面直角坐标系中，椭圆 的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与.当直线的斜率为时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）求由，，，四点构成的四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

（1）由题意可得，，.则椭圆的方程为.

（2）分类讨论：①当两条弦中一条斜率为时，另一条弦的斜率不存在，；②当两弦斜率均存在且不为时，设，，联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得 ， .则 ，结合均值不等式的结论可得，据此可知.

（1）由题意知，则，，

.

所以.所以椭圆的方程为.

（2）①当两条弦中一条斜率为时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知；

②当两弦斜率均存在且不为时，设，，

且设直线的方程为，

则直线的方程为.

将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得：

，

所以 ，

同理 .

所以 ，

由，当且仅当时取等号.

，综合①与②可知，.