Question

【题目】如图，菱形的边长为，，与交于点．将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．

（I）求证：平面⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的性质与勾股定理推出平面，从而利用面面垂直的判定求证即可；（Ⅱ）以为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面与的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可．

（Ⅰ）证明：是菱形，

,

中，,

又是中点，

面面

又 平面

平面⊥平面

（Ⅱ）由题意， , 又由（Ⅰ）知 建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知

故 设平面的法向量，则

即 令，则

所以，

由条件易证平面，故取其法向量为

所以，

由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为